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自作問題や私の好きな問題を解いたりします。

2023灘高校大問1⑵ 二次方程式の解と係数 +α

今回は灘高校の小問集合，⑵を解いていきます。

‘‘2023’’関連の問題ですが，様々な数値で類題が作れそうです。

問　 $x$ の方程式 $x^ 2+x-n+1=0$ が整数解をもつような整数 $n$ のうち，

　　 $n-2023$ の絶対値が最も小さいものを求めよ。

※下は解答になっています

解答　 $n$ の満たすべき条件を求めてから， $n$ を $2023$ に近づけていきます。

　方程式 $x^2 +x-n+1=0････････①$ が整数解 $p, q$ をもつとする。

　　このとき， $(x-p)(x-q)=0$ $∴$ $x^2-(p+q)x+pq=0････････②$

　①と②の一次の項を比較すると，

　　 $p+q=-1$ $∴$ $q=-p-1････････③$

　①と②の定数項を比較すると，

　　 $pq=-n+1････････④$

　③，④より，

　　 $-n+1=p(-p-1)$ $∴$ $n=p(p+1)+1････････⑤$

　⑤を満たす自然数 $n$ のうちで， $2023$ に近いものを考える。

　 $2025=45^ 2$ などを知っていると， $p$ は大体 $45$ くらいと予想できる。

　 $p=44$ のとき，⑤より $n=44×45+1=1981$ $∴$ $|n-2023|=42$

　　 $p≦43$ のときは， $n＜1981$ であるから考えなくてよい。

　 $p=45$ のとき，⑤より $n=45×46+1=2071$ $∴$ $|n-2023|=48$

　　 $p≧46$ のときは， $n＞2071$ であるから考えなくてよい。

　以上より， $n=1981$ ････････答

　実質，解と係数の関係を使っています。高校範囲ですが簡単に導出できます。

　　＜解と係数の関係＞

　 $x$ の二次方程式 $ax^ 2+bx+c=0$ が $x=p, q$ を解に持つとすると，

　　 $a(x-p)(x-q)=0$ であるから， $ax^ 2-a(p+q)x+apq=0$

　　 $∴$ $b=-a(p+q),$ $c=apq$

　　 $∴$ $\displaystyle{\require{color}\textcolor{red}{p+q=-\frac{b}a},}$ $\displaystyle{\require{color}\textcolor{blue}{pq=\frac{c}a} }$ $(a≠0)$

なお，解と係数の関係を使わない別解もあり，寧ろこちらの方が一般的だと思います。

別解　二次方程式 $x^ 2+x-n+1$ の解は，解の公式を用いると，

　 $\displaystyle{x=\frac{-1\pm{\sqrt{1-4(-n+1)}}}2}$ 　　 $∴$ $\displaystyle{x=\frac{-1\pm{\sqrt{4n-3}}}2}$

　となる。これが整数になるためには， $\sqrt{4n-3}$ が奇数となる必要がある。（※）

　 $|n-2023|$ を最小にするために，奇数の平方で $8000$ に近いものを考える。

　 $90^ 2=8100$ であるから， $89^ 2=7921,$ $91^ 2=8281.$

　　 $4n-3=7921$ のとき， $n=1981$ 　　　 $∴$ $|n-2023|=42.$

　　　 $4n-3＜7921$ のとき， $n＜1981$ であるから，考えなくてよい。

　　 $4n-3=8281$ のとき， $n=2071$ 　　　 $∴$ $|n-2023|=48.$

　　　 $4n-3＞8281$ のとき， $n＞2071$ であるから，考えなくてよい。

　　以上より， $n=1981$ ････････答

（※）で $4n-3=(2k+1)^ 2$ とおくと，

　 $4n-3=4k^ 2+4k+1$ 　　 $∴$ $n=k^ 2+k+1=k(k+1)+1$

　　となり，解答と同じ形が得られます。

いかがだったでしょうか。

このような問題では，解と係数の関係や解の公式が使える場合がほとんどで，そこからは素直に解けるか，整数問題に発展していくかのどちらかになります。

　今回の問題は，

①　 $n$ を他の文字で表す（ $n$ の満たすべき必要（十分）条件を求める）

②　なるべく範囲を絞り込んでから，数値を近づけていく。

　の２ステップで機械的に解くことができ，計算量もそこまで多くないので，素早く

解いていかなければならないのかなと思います。

さて，最後に，類題を２問載せておきます。

類題　

⑴　不定方程式 $11x-13y=1$ の整数解 $x, y$ のうち，

　　 $|7x+5y-2023|$ が最小となるものを求めよ。

⑵　 $a$ を正の整数とする。数直線上に二次方程式

　　　 $(x-a)(x-3a-1)=0$

　　の２つの解を並べ，これらの解の間に等間隔に４個の整数を並べる。

　　このとき，解と合わせた６個の数の合計が３桁の数となるような $a$ の値の中で

　　もっとも小さな値を求めよ。　　　　　　　　　　　　　（東邦大付東邦高）

※下は解答になっています

解答

⑴　 $(x, y)=(175, 148)$

⑵　 $a=12$

解けましたでしょうか。それでは，また次回。