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自作問題や私の好きな問題を解いたりします。

式の値-大学入試みたいな高校入試問題

「式の値」の問題は,大抵は小問集合に「式の展開・因数分解」分野と一緒に出題されます。基本的には「与えられた式を整理してから代入する」が鉄則ですが,そもそも素直に代入させてくれない問題も多くあります。

 今回は少し工夫が必要な問題を10問ピックアップして紹介します。

  難易度は,易⑴~難⑽で,⑺から急に難しくなります。(※主観です)

 

 

問題

⑴(江戸川学園取手高)

 7x+2y=-x-5y のとき,\displaystyle{\frac{5x-8y}{4x+9y}} の値を求めよ。

 

⑵(渋谷教育学園幕張高)

 x^ 2-x-1=0 のとき,x^ 5-x^ 4-x^ 3+x^ 2-x-2 の値を求めよ。

 

⑶(東大寺学園高)

 m-n=2,   mn=4 のとき,(n^ 2+1)m-(m^ 2+1)n の値を求めよ。

 

⑷(城北高)

 (a+1)(b+1)=7, (a-1)(b-1)=-1 のとき,(a+2)(b+2) の値を求めよ。

 

⑸(西大和学園高)

 x=\sqrt{7}+\sqrt{3},   y=\sqrt{7}-\sqrt{3} のとき,

  2x^ 2-5xy-3y^ 2-(x+y)(x-4y) の値を求めよ。

 

⑹(大阪星光学院高)

 a=2+\sqrt{3},   b=2-\sqrt{3} のとき,a^ 7b^ 5+a^ 4b^ 6 の値を求めよ。

 

⑺(中央大杉並高)

 x+y+z=7,   xyz=7,   \displaystyle{\frac{1}x+\frac{1}y+\frac{1}z=\frac{13}7} のとき,

 \displaystyle{(1+\frac{1}x)(1+\frac{1}y)(1+\frac{1}z)} の値を求めよ。

 

⑻(慶應義塾高)

 3x^ 2-15x+7=0 のとき,3x^ 4-15x^ 3+35x-16 の値を求めよ。

 

⑼(灘高)

 a+b+c+d=4, 

 \displaystyle{a(\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d)+b(\frac{1}a+\frac{1}c+\frac{1}d)+c(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}d)+d(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c)=-14}

のとき,\displaystyle{\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d} の値を求めよ。

 

⑽(渋谷教育学園幕張高)

 \displaystyle{x+\frac{1}{x}=5-\sqrt{5}} のとき,\displaystyle{\frac{\sqrt{x^ 4-10x^ 3+25x^ 2-10x+1}}{x}} の値を求めよ。

 

 

 

 

 

         - 下にスクロールすると解説があります -

 

 

 

 

 

 

 

⑴~⑸ 解説

7x+2y=-x-5y のとき,\displaystyle{\frac{5x-8y}{4x+9y}} の値を求めよ。

 

(答)7x+2y=-x-5y を整理して,8x=-7y を得る。これをうまく利用する。   

     \displaystyle{\frac{5x-8y}{4x+9y}}

    =\displaystyle{\frac{8(5x-8y)}{8(4x+9y)}}

    =\displaystyle{\frac{5×8x-8×8y}{4×8x+8×9y}}

    =\displaystyle{\frac{5×(-7y)-8×8y}{4×(-7y)+8×9y}}

    =\displaystyle{\frac{-99y}{44y}=-\frac{9}4}

 

(別解)8x=-7y より x:y=-7:8. x=-7k, y=8k とおくと,

 (与式)=\displaystyle{\frac{5×(-7k)-8×8k}{4×(-7k)+9×8k}}

     =\displaystyle{\frac{-99k}{44k}=-\frac{9}4}

 

 

x^ 2-x-1=0 のとき,x^ 5-x^ 4-x^ 3+x^ 2-x-2 の値を求めよ。

 

(答)x^ 5-x^ 4-x^ 3+x^ 2-x-2

  =x^ 3(x^ 2-x-1)+(x^ 2-x-1)-1    (x^ 2-x-1=0 を利用する)

  =x^ 3×0-0-1=-1

 

 

m-n=2,   mn=4 のとき,(n^ 2+1)m-(m^ 2+1)n の値を求めよ。

 

(答)(与式)=mn^ 2+m-m^ 2n-n

       =(mn^ 2-m^ 2n)+(m-n)

       =-mn(m-n)+(m-n)=-4×2+2=-6

 

 

(a+1)(b+1)=7, (a-1)(b-1)=-1 のとき, (a+2)(b+2) の値を求めよ。

 

(答)(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=7 →ab+a+b=6 ・・・・・・・①

   (a-1)(b-1)=ab-(a+b)-1=-1 →ab-(a+b)=0 ・・・・・・・②

 ①-②より 2(a+b)=6   ∴a+b=3

 ①+②より 2ab=6     ∴ab=3

   ∴(a+2)(b+2)=ab+2(a+b)+4=3+2×3+4=13

 

 

⑸ x=\sqrt{7}+\sqrt{3},   y=\sqrt{7}-\sqrt{3} のとき,

  2x^ 2-5xy-3y^ 2-(x+y)(x-4y) の値を求めよ。

 

(答)(与式)=2x^ 2-5xy-3y^ 2-x^ 2+3xy+4y^ 2

       =x^ 2-2xy+y^ 2

       =(x-y)^ 2=\{(\sqrt{7}+\sqrt{3})-(\sqrt{7}-\sqrt{3})\}^ 2

       =(2\sqrt{3})^ 2=12

 

 

⑹~⑽ 解説

a=2+\sqrt{3},   b=2-\sqrt{3} のとき,a^ 7b^ 5+a^ 4b^ 6 の値を求めよ。

 

(答)a+b=4,  ab=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1 である。

   a^ 7b^ 5+a^ 4b^ 6=a^ 7b^ 5+a^ 4b^ 6×ab  (ab=1 を利用する)

  =(ab)^ 5(a^ 2+b^ 2)=a^ 2+b^ 2

  =(a+b)^ 2-2ab=4^ 2-2×1=14

 

 

⑺ x+y+z=7,   xyz=7,  \displaystyle{\frac{1}x+\frac{1}y+\frac{1}z=\frac{13}7}  のとき,

  \displaystyle{(1+\frac{1}x)(1+\frac{1}y)(1+\frac{1}z)} の値を求めよ。

 

(答)\displaystyle{\frac{1}x+\frac{1}y+\frac{1}z=\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{13}7} ∴xy+yz+zx=13

 \displaystyle{X=(1+\frac{1}x)(1+\frac{1}y)(1+\frac{1}z)×xyz=x(1+\frac{1}x)y(1+\frac{1}y)z(1+\frac{1}z)}  とおく。

求める値は \displaystyle{\frac{X}{xyz}=\frac{(x+1)(y+1)(z+1)}{xyz}}

       \displaystyle{=\frac{(xyz)+(xy+yz+zx)+(x+y+z)+1}{xyz}}

       \displaystyle{=\frac{7+13+7+1}7=4}

 

 

3x^ 2-15x+7=0 のとき,3x^ 4-15x^ 3+35x-16 の値を求めよ。

 

(答)3x^ 4-15x^ 3+35x-16=x^ 2(3x^ 2-15x)+35x-16

  \displaystyle{=-7x^ 2+35x-16=-\frac{7}{3}(3x^ 2-15x)-16・・・・・・・・㋐}

  \displaystyle{=-\frac{7}{3}×(-7)-16=\frac{49}3-\frac{48}3=\frac{1}3}

 

(別解)㋐の変形に気付けなかった場合(意味はほぼ同じ)

  \displaystyle{3x^ 2-15x+7=0→x^ 2-5x=-\frac{7}3}

  \displaystyle{-7x^ 2+35x-16=-7(x^ 2-5x)-16=-7×(-\frac{7}3)-16=\frac{1}3}

 

 

a+b+c+d=4, 

\displaystyle{a(\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d)+b(\frac{1}a+\frac{1}c+\frac{1}d)+c(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}d)+d(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c)=-14}

のとき,\displaystyle{\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d} の値を求めよ。

 

(答)\displaystyle{X=\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d} とおく。

 \displaystyle{a(\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d)+b(\frac{1}a+\frac{1}c+\frac{1}d)+c(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}d)+d(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c)}

\displaystyle{=a(X-\frac{1}a)+b(X-\frac{1}b)+c(X-\frac{1}c)+d(X-\frac{1}d)}

=aX-1+bX-1+cX-1+dX-1=(a+b+c+d)X-4=-14

   ∴4X=-10  \displaystyle{∴X=-\frac{5}2}

 

(別解)こっちの方が模範解に近いかもしれない。

 \displaystyle{a(\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d)+b(\frac{1}a+\frac{1}c+\frac{1}d)+c(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}d)+d(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c)}

\displaystyle{=(\frac{a}b+\frac{a}c+\frac{a}d)+(\frac{b}a+\frac{b}c+\frac{b}d)+(\frac{c}a+\frac{c}b+\frac{c}d)+(\frac{d}a+\frac{d}b+\frac{d}c)}

\displaystyle{=\frac{b+c+d}a+\frac{a+c+d}b+\frac{a+b+d}c+\frac{a+b+c}d}

\displaystyle{=\frac{4-a}a+\frac{4-b}b+\frac{4-c}c+\frac{4-d}d}

\displaystyle{=4(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d)-1-1-1-1=-14}

   \displaystyle{∴\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d=-\frac{5}2}

 

 

\displaystyle{x+\frac{1}{x}=5-\sqrt{5}} のとき,\displaystyle{\frac{\sqrt{x^ 4-10x^ 3+25x^ 2-10x+1}}{x}} の値を求めよ。

 

(答)\displaystyle{x^ 2+\frac{1}{x^ 2}=(x+\frac{1}x)^ 2-2=(5-\sqrt{5})^ 2-2=28-10\sqrt{5}}

 \displaystyle{\frac{\sqrt{x^ 4-10x^ 3+25x^ 2-10x+1}}{x}=\sqrt{\frac{x^ 4-10x^ 3+25x^ 2-10x+1}{x^ 2}}}

 =\displaystyle{\sqrt{x^ 2-10x+25-\frac{10}x+\frac{1}{x^ 2}}=\sqrt{(x^ 2+\frac{1}{x^ 2})-10(x+\frac{1}x)+25}}

 =\sqrt{(28-10\sqrt{5})-10(5-\sqrt{5})+25}=\sqrt{3}

 

(注)係数が左右対称な4次式は,式をx^ 2 で割ると, \displaystyle{x+\frac{1}x=t} で表せる。

  X=(x^ 4+ax^ 3+bx^ 2+ax+1) のとき,

 \displaystyle{\frac{X}{x^ 2}=x^ 2+ax+b+\frac{a}x+\frac{1}{x^ 2}}\displaystyle{=(x^ 2+\frac{1}{x^ 2})+a(x+\frac{1}x)+b}

  \displaystyle{x+\frac{1}x=t→x^ 2+\frac{1}{x^ 2}=t^ 2-2} とおくと,\displaystyle{\frac{X}{x^ 2}=t^ 2+at+b-2}

 これは,式の値を求めるほかに,方程式 X=0 を解くのにも使える。

 

 

 

 解説終わりです。難しいものでは,指数法則,対称式や相反方程式などどう考えても高校範囲の知識を求められます。こういうのが入試の一番最初の問題,小問集合とかに「簡単な問題」として来やがることを考えると,恐ろしいですね。

 

 そういえば今日は共通テスト2日目ですね。頑張ってください。(適当)

高校受験生の皆さんも,後僅かですが応援しています。

 (私は今年度最後の模試が終わったので気が楽です)

当ブログの共テ関連では,数Ⅰ・Aの問題を(私が解ければ)載せるかもしれません。

 今後は,2023年度の高校入試問題(数学)を中心に投稿していきます。