趣味の数学blog.

自作問題や私の好きな問題を解いたりします。

''2023''関連・規則性の問題　解説

先日更新したブログ↓↓の，Part.2の問題の解説です。

 

規則性，特に数列の問題で第2023項を求めさせることは多いでしょう。

2023だけでなく他のどの数であっても，応用を利かせることができればいいですね。

大問数は2問で，両方とも中学入試にありそうな問題です（知らんけど）。

※上記のブログでの表記は各々⑻，⑼となってますが，今回は2問のみの掲載ですので，「問題１」「問題２」（＋関連する単元）で見出し表記にしております。

　ちなみに個人的な難易度は，問題１･･････難，問題２･･････普通～やや難　です。

 

問題１　（既約分数・約数，数列の和）

　分母が2023であるような正の既約分数を小さいものから順に並べるとき，

　①　2023番目の数を求めよ。

　②　\frac{2022}{2023}は何番目の数か。

　③　②までに並ぶ数（ \frac{2022}{2023} を含む）すべての和を求めよ。

 

 

 

 

 

 

 

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　問題１　解答・解説

解答　①　2507　　②　1632番目　　③　816

 

解説　この数列に含まれる数を\frac{n}{2023}（nは2023と互いに素な自然数）とおく。

\frac{m}{2023}が何番目の数かを知るには，1≦n≦mの範囲にこのnが何個あるかを数えればいい。（したがって，②の方が比較的解きやすい（更新してから気づいた））

 

②から解く。以下，[x]でx以下の最大の整数を表すものとする。

1から2022までの自然数のうち，2023と互いに素であるものの個数は，2023=7×17^ 2より，7でも17でも割り切れない数を数えればいい。

　ステップ❶～❸に分けて数える。

 

❶ 1から2022までの自然数のうち，7で割り切れる数は，

　[\frac{2022}7]=288より，288個

 

❷ 1から2022までの自然数のうち，17で割り切れる数は，

　[\frac{2022}{17}]=118より，118個

 

❸ 1から2022までの自然数のうち，7×17で割り切れる数は，

　[\frac{2022}{7×17}]=16より，16個

 

求める自然数の個数は，2022-(❶+❷-❸)である（ベン図を書くとわかる）から，

　2022-(288+118-16)=1632より，1632個

したがって，②\frac{2022}{2023}は，1632番目の数である。

 

 

③　\frac{2022}{2023}までの数の分子は全て2023と互いに素な数である。

　よって，求める和の分母を2023とすると，分子は，

A=（1から2022までのすべての自然数の和）

B=（1から2022までのすべての7の倍数の和）

C=（1から2022までのすべての17の倍数の和）

D=（1から2022までのすべての119の倍数の和）　

　として，A-(B+C-D)で求められる。（D:重複分）

 

A=\displaystyle{\sum_{k=1}^ {2022} k}=\frac{2022×2023}2

B=\displaystyle{\sum_{k=1}^ {[\frac{2022}7]} 7k}=7\displaystyle{\sum_{k=1}^ {288} k}=\frac{7×288×289}2=\frac{288×2023}2

C=\displaystyle{\sum_{k=1}^ {[\frac{2022}{17}]} 17k}=17\displaystyle{\sum_{k=1}^ {118} k}=\frac{17×118×119}2=\frac{118×2023}2

D=\displaystyle{\sum_{k=1}^ {[\frac{2022}{119}]} 119k}=119\displaystyle{\sum_{k=1}^ {16} k}=\frac{119×16×17}2=\frac{16×2023}2

 

\displaystyle{∴A-(B+C-D)=\frac{2022×2023}2-(\frac{288×2023}2+\frac{118×2023}2-\frac{16×2023}2)}

\displaystyle{=\frac{2023}2×\{2022-(288+118-16)\}=\frac{2023}2×1632=2023×816}

 

よって，③求める値は \displaystyle{\frac{2023×816}{2023}=816} （答）

 

 

 

①　②の計算過程を利用する。k番目の数nは，以下の式を満たす;

　n-([\frac{n}7]+[\frac{n}{17}]-[\frac{n}{7×17}])=k.

　k=2023となるときのnを求める。nが大きくなるほどkは大きくなる。

nの増加量に対するkの増加量を考える。n=m+7×17を代入すると，

　k=(m+7×17)-([\frac{m+7×17}7]+[\frac{m+7×17}{17}]-[\frac{m+7×17}{7×17}])

　=(m+119)-([\frac{m}7]+17+[\frac{m}{17}]+7-[\frac{m}{7×17}]-1)

　=(m+119)-([\frac{m}7]+[\frac{m}{17}]-[\frac{m}{7×17}]+23)

　=m-([\frac{m}7]+[\frac{m}{17}]-[\frac{m}{7×17}])+96

よって，nが7×17=119増加すると，kは96増加する。

　②より，n=2022のときk=1632であるから，2023-1632=391増加させるためには，nを\frac{391}{96}×119=484.67...増加させる必要がある。

　n=2022+484=2506を代入すると，

　k=2506-([\frac{2506}7]+[\frac{2506}{17}]-[\frac{2506}{7×17}])=2506-(358+147-21)=2022.

 

　よって，2506は2022番目の数である。また，2506=7×358=17×147+7

より，2507は7でも17でも割り切れないから，この数列に属する。したがって，①2023番目の数は，2507である。

 

（一言）もう少し簡単な解き方ないですかね。①の実験の手数はなるべく減らしたいですね。

　「互いに素」系の問題を発展させた問題です。和を求めるのはかなり難しいと思います。

 

 

 

 

 

問題２　（整数を並べてできる数，桁数）

　1から2023までの整数を以下のように並べてできる整数Nを考える。

　　N=1234567891011121314･･･20222023

　①　数Nの十進法での桁数を求めよ。

　②　数Nの2023桁目の数を求めよ。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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　問題２　解答・解説

解答　①　6995桁　　　②　7

 

解説　数Nを以下のように区切って考える。

　N=|123456789|1011･･･････99|100101･･･････999|10001001･･･････2023|

 

このとき，左端の組に並ぶ数は1から9までの整数すべてであり，

　その桁数は(9-1+1)×1=9桁････････㋐

左から2番目の組に並ぶ数は10から99までの整数すべてであり，

　その桁数は(99-10+1)×2=180桁････････㋑

左から3番目の組に並ぶ数は100から999までの整数すべてであり，

　その桁数は(999-100+1)×3=2700桁････････㋒

右端の組に並ぶ数は1000から2023までの整数すべてであり，

　その桁数は(2023-1000+1)×4=4096桁････････㋓

 

したがって，①数Nの桁数は㋐+㋑+㋒+㋓=6995桁　（答）

 

また，2023桁目の数は，左から3番目の組に含まれる。

左から3番目の組は190桁目から始まり，並ぶ数は3桁の整数である。

左から3番目の組を，さらに，以下のように分ける;

　|100|101|102|103|････････|997|998|999|

このとき，nを自然数として，左からn番目の組に含まれる数は，99+n

である。さらに，左からn番目の組の右端の数は，(189+3n)桁目の数である。

2023-189=1834=3×611+1であるから，左から611番目の組の右端の数が，

2022桁目の数である。よって，左から612番目の組の左端の数が，求める数である。

　左から612番目の組に含まれる数は99+612=711であるから，この左端の数は

　　　②　7　（答）

 

（一言）群数列ですね。類題では，「1の数を数えさせる」「各桁の数の和を求めさせる」などがありそうです。桁数を求めるだけなら簡単な部類だと思います。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（余談）2023関連の計算問題

 　前回の記事には2023関連の計算問題を載せようと思っていたのですが，いい問題が浮かばなかったので見送りました。が，今回の記事を書いている間に思いついてしまったので，こちらも載せたいと思います。算数っぽく見えますが，高校入試用です。

 

問　0.2023×20.23+6.174×1.977-1.977×(2.128－1.977) を計算せよ。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解説

　2.023=x, 1.977=y とおくと，0.2023×20.23=2.023^ 2=x^ 2 であり，

　(与式)=x^ 2+6.174y-y(2.128-y)=x^ 2+(6.174-2.128)y+y^ 2

　=x^ 2+4.046y+y^ 2=x^ 2+2xy+y^ 2　(4.046=2×2.023 より)

　=(x+y)^ 2=(2.023+1.977)^ 2=4^ 2=16　（答）

 

（一言）2.023+1.977=4 なので勘で解けるかもしれません。おそらく難しく見えるのは，

　わざわざ2.023×2.023を0.2023×20.23に書き換えているからでしょうね。

 

 

 

 

 

（再余談）ついでに，こいつも対策しておきますか...？

問　2023^ 4を2^ 4で割ったときの余りは1に等しい。

　不定方程式2023^ 5x-2^ 5y=1の整数解のうち，xが正で最小のものは

　　x=[アイ], y=[ ウエオカキクケコサシスセソタチツテ] である。

※この問題の解説は時間の無駄なのでしません。Wolframとかに入れてみてください。