2024-03-17

卒業

お久しぶりです。先日無事中学校を卒業しました私です。

気付けば１年ちょっと更新が止まっていたこのブログですが，高校進学を機にまた少し更新していこうかなぁと考えてます。温かく見守ってくだされば幸いです。

2023-03-28

奇問の小問集合①（自作問題）

作問って難しいですね。私は春休みに入って暇なので作問を進めているのですが，

　　計算が煩雑でない＋程よく差がつく＋コンセプトがはっきりしている

問題を作るのは大変，というか無理です。先生方，いつもお疲れ様です。

さて，今回は私立対策に丁度よさそうな骨のある小問集合です。

pdfは下記リンクからどうぞ↓↓↓（ドライブが開きます）

　　　　奇問の小問集合①.pdf - Google ドライブ

※出題範囲：⑴平方根の計算　⑵因数分解　⑶整数問題　⑷確率　⑸相似・線分比

2023-02-24

2023灘高校大問1⑵ 二次方程式の解と係数 +α

今回は灘高校の小問集合，⑵を解いていきます。

‘‘2023’’関連の問題ですが，様々な数値で類題が作れそうです。

問　 $x$ の方程式 $x^ 2+x-n+1=0$ が整数解をもつような整数 $n$ のうち，

　　 $n-2023$ の絶対値が最も小さいものを求めよ。

※下は解答になっています

2023-01-15

式の値－大学入試みたいな高校入試問題

「式の値」の問題は，大抵は小問集合に「式の展開・因数分解」分野と一緒に出題されます。基本的には「与えられた式を整理してから代入する」が鉄則ですが，そもそも素直に代入させてくれない問題も多くあります。

　今回は少し工夫が必要な問題を10問ピックアップして紹介します。

　　難易度は，易⑴～難⑽で，⑺から急に難しくなります。（※主観です）

問題
⑴～⑸　解説
⑹～⑽　解説

問題

⑴（江戸川学園取手高）

　 $7x+2y=-x-5y$ 　のとき， $\displaystyle{\frac{5x-8y}{4x+9y}}$ 　の値を求めよ。

⑵（渋谷教育学園幕張高）

　 $x^ 2-x-1=0$ 　のとき， $x^ 5-x^ 4-x^ 3+x^ 2-x-2$ 　の値を求めよ。

⑶（東大寺学園高）

　 $m-n=2,$ $mn=4$ 　のとき， $(n^ 2+1)m-(m^ 2+1)n$ 　の値を求めよ。

⑷（城北高）

　 $(a+1)(b+1)=7, (a-1)(b-1)=-1$ のとき， $(a+2)(b+2)$ の値を求めよ。

⑸（西大和学園高）

　 $x=\sqrt{7}+\sqrt{3},$ $y=\sqrt{7}-\sqrt{3}$ 　のとき，

　　 $2x^ 2-5xy-3y^ 2-(x+y)(x-4y)$ 　の値を求めよ。

⑹（大阪星光学院高）

　 $a=2+\sqrt{3},$ $b=2-\sqrt{3}$ 　のとき， $a^ 7b^ 5+a^ 4b^ 6$ 　の値を求めよ。

⑺（中央大杉並高）

　 $x+y+z=7,$ $xyz=7,$ $\displaystyle{\frac{1}x+\frac{1}y+\frac{1}z=\frac{13}7}$ 　のとき，

　 $\displaystyle{(1+\frac{1}x)(1+\frac{1}y)(1+\frac{1}z)}$ 　の値を求めよ。

⑻（慶應義塾高）

　 $3x^ 2-15x+7=0$ 　のとき， $3x^ 4-15x^ 3+35x-16$ 　の値を求めよ。

⑼（灘高）

　 $a+b+c+d=4,$ 　

　 $\displaystyle{a(\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d)+b(\frac{1}a+\frac{1}c+\frac{1}d)+c(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}d)+d(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c)=-14}$

のとき， $\displaystyle{\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d}$ 　の値を求めよ。

⑽（渋谷教育学園幕張高）

　 $\displaystyle{x+\frac{1}{x}=5-\sqrt{5}}$ 　のとき， $\displaystyle{\frac{\sqrt{x^ 4-10x^ 3+25x^ 2-10x+1}}{x}}$ 　の値を求めよ。

　　　　　　　　　－　下にスクロールすると解説があります　－

⑴～⑸　解説

⑴ $7x+2y=-x-5y$ 　のとき， $\displaystyle{\frac{5x-8y}{4x+9y}}$ 　の値を求めよ。

（答） $7x+2y=-x-5y$ を整理して， $8x=-7y$ を得る。これをうまく利用する。　　　

　　　　　 $\displaystyle{\frac{5x-8y}{4x+9y}}$

　　　　 $=\displaystyle{\frac{8(5x-8y)}{8(4x+9y)}}$

　　　　 $=\displaystyle{\frac{5×8x-8×8y}{4×8x+8×9y}}$

　　　　 $=\displaystyle{\frac{5×(-7y)-8×8y}{4×(-7y)+8×9y}}$

　　　　 $=\displaystyle{\frac{-99y}{44y}=-\frac{9}4}$

（別解） $8x=-7y$ より $x:y=-7:8.$ 　 $x=-7k, y=8k$ とおくと，

　（与式） $=\displaystyle{\frac{5×(-7k)-8×8k}{4×(-7k)+9×8k}}$

　　　　　 $=\displaystyle{\frac{-99k}{44k}=-\frac{9}4}$

⑵ $x^ 2-x-1=0$ 　のとき， $x^ 5-x^ 4-x^ 3+x^ 2-x-2$ 　の値を求めよ。

（答） $x^ 5-x^ 4-x^ 3+x^ 2-x-2$

　　 $=x^ 3(x^ 2-x-1)+(x^ 2-x-1)-1$ 　　　（ $x^ 2-x-1=0$ を利用する）

　　 $=x^ 3×0-0-1=-1$

⑶ $m-n=2,$ $mn=4$ 　のとき， $(n^ 2+1)m-(m^ 2+1)n$ 　の値を求めよ。

（答）（与式） $=mn^ 2+m-m^ 2n-n$

　　　　　　　 $=(mn^ 2-m^ 2n)+(m-n)$

　　　　　　　 $=-mn(m-n)+(m-n)=-4×2+2=-6$

⑷ $(a+1)(b+1)=7, (a-1)(b-1)=-1$ のとき, $(a+2)(b+2)$ の値を求めよ。

（答） $(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=7 →ab+a+b=6 ･･･････①$

　　　 $(a-1)(b-1)=ab-(a+b)-1=-1 →ab-(a+b)=0 ･･･････②$

　 $①-②$ より $2(a+b)=6$ 　　　 $∴a+b=3$

　 $①+②$ より $2ab=6$ 　　　　　 $∴ab=3$

　　　 $∴(a+2)(b+2)=ab+2(a+b)+4=3+2×3+4=13$

⑸ $x=\sqrt{7}+\sqrt{3},$ $y=\sqrt{7}-\sqrt{3}$ 　のとき，

　　 $2x^ 2-5xy-3y^ 2-(x+y)(x-4y)$ 　の値を求めよ。

（答）（与式） $=2x^ 2-5xy-3y^ 2-x^ 2+3xy+4y^ 2$

　　　　　　　 $=x^ 2-2xy+y^ 2$

　　　　　　　 $=(x-y)^ 2=\{(\sqrt{7}+\sqrt{3})-(\sqrt{7}-\sqrt{3})\}^ 2$

　　　　　　　 $=(2\sqrt{3})^ 2=12$

⑹～⑽　解説

⑹ $a=2+\sqrt{3},$ $b=2-\sqrt{3}$ 　のとき， $a^ 7b^ 5+a^ 4b^ 6$ 　の値を求めよ。

（答） $a+b=4,$ $ab=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1$ である。

　　　 $a^ 7b^ 5+a^ 4b^ 6=a^ 7b^ 5+a^ 4b^ 6×ab$ 　　（ $ab=1$ を利用する）

　　 $=(ab)^ 5(a^ 2+b^ 2)=a^ 2+b^ 2$

　　 $=(a+b)^ 2-2ab=4^ 2-2×1=14$

⑺ $x+y+z=7,$ $xyz=7,$ $\displaystyle{\frac{1}x+\frac{1}y+\frac{1}z=\frac{13}7}$ 　　のとき，

　　 $\displaystyle{(1+\frac{1}x)(1+\frac{1}y)(1+\frac{1}z)}$ 　の値を求めよ。

（答） $\displaystyle{\frac{1}x+\frac{1}y+\frac{1}z=\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{13}7}$ 　 $∴xy+yz+zx=13$

　 $\displaystyle{X=(1+\frac{1}x)(1+\frac{1}y)(1+\frac{1}z)×xyz=x(1+\frac{1}x)y(1+\frac{1}y)z(1+\frac{1}z)}$ とおく。

求める値は　 $\displaystyle{\frac{X}{xyz}=\frac{(x+1)(y+1)(z+1)}{xyz}}$

　　　　　　　 $\displaystyle{=\frac{(xyz)+(xy+yz+zx)+(x+y+z)+1}{xyz}}$

　　　　　　　 $\displaystyle{=\frac{7+13+7+1}7=4}$

⑻ $3x^ 2-15x+7=0$ 　のとき， $3x^ 4-15x^ 3+35x-16$ 　の値を求めよ。

（答） $3x^ 4-15x^ 3+35x-16=x^ 2(3x^ 2-15x)+35x-16$

　　 $\displaystyle{=-7x^ 2+35x-16=-\frac{7}{3}(3x^ 2-15x)-16････････㋐}$

　　 $\displaystyle{=-\frac{7}{3}×(-7)-16=\frac{49}3-\frac{48}3=\frac{1}3}$

（別解） $㋐$ の変形に気付けなかった場合（意味はほぼ同じ）

　　 $\displaystyle{3x^ 2-15x+7=0→x^ 2-5x=-\frac{7}3}$

　　 $\displaystyle{-7x^ 2+35x-16=-7(x^ 2-5x)-16=-7×(-\frac{7}3)-16=\frac{1}3}$

⑼ $a+b+c+d=4,$ 　

$\displaystyle{a(\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d)+b(\frac{1}a+\frac{1}c+\frac{1}d)+c(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}d)+d(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c)=-14}$

のとき， $\displaystyle{\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d}$ 　の値を求めよ。

（答） $\displaystyle{X=\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d}$ とおく。

　 $\displaystyle{a(\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d)+b(\frac{1}a+\frac{1}c+\frac{1}d)+c(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}d)+d(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c)}$

$\displaystyle{=a(X-\frac{1}a)+b(X-\frac{1}b)+c(X-\frac{1}c)+d(X-\frac{1}d)}$

$=aX-1+bX-1+cX-1+dX-1=(a+b+c+d)X-4=-14$

　　　 $∴4X=-10$ 　　 $\displaystyle{∴X=-\frac{5}2}$

（別解）こっちの方が模範解に近いかもしれない。

　 $\displaystyle{a(\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d)+b(\frac{1}a+\frac{1}c+\frac{1}d)+c(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}d)+d(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c)}$

$\displaystyle{=(\frac{a}b+\frac{a}c+\frac{a}d)+(\frac{b}a+\frac{b}c+\frac{b}d)+(\frac{c}a+\frac{c}b+\frac{c}d)+(\frac{d}a+\frac{d}b+\frac{d}c)}$

$\displaystyle{=\frac{b+c+d}a+\frac{a+c+d}b+\frac{a+b+d}c+\frac{a+b+c}d}$

$\displaystyle{=\frac{4-a}a+\frac{4-b}b+\frac{4-c}c+\frac{4-d}d}$

$\displaystyle{=4(\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d)-1-1-1-1=-14}$

　　　 $\displaystyle{∴\frac{1}a+\frac{1}b+\frac{1}c+\frac{1}d=-\frac{5}2}$

⑽ $\displaystyle{x+\frac{1}{x}=5-\sqrt{5}}$ 　のとき， $\displaystyle{\frac{\sqrt{x^ 4-10x^ 3+25x^ 2-10x+1}}{x}}$ 　の値を求めよ。

（答） $\displaystyle{x^ 2+\frac{1}{x^ 2}=(x+\frac{1}x)^ 2-2=(5-\sqrt{5})^ 2-2=28-10\sqrt{5}}$

　 $\displaystyle{\frac{\sqrt{x^ 4-10x^ 3+25x^ 2-10x+1}}{x}=\sqrt{\frac{x^ 4-10x^ 3+25x^ 2-10x+1}{x^ 2}}}$

　 $=\displaystyle{\sqrt{x^ 2-10x+25-\frac{10}x+\frac{1}{x^ 2}}=\sqrt{(x^ 2+\frac{1}{x^ 2})-10(x+\frac{1}x)+25}}$

　 $=\sqrt{(28-10\sqrt{5})-10(5-\sqrt{5})+25}=\sqrt{3}$

（注）係数が左右対称な $4$ 次式は，式を $x^ 2$ で割ると， $\displaystyle{x+\frac{1}x=t}$ で表せる。

　　 $X=(x^ 4+ax^ 3+bx^ 2+ax+1)$ のとき，

　 $\displaystyle{\frac{X}{x^ 2}=x^ 2+ax+b+\frac{a}x+\frac{1}{x^ 2}}$ $\displaystyle{=(x^ 2+\frac{1}{x^ 2})+a(x+\frac{1}x)+b}$

　　 $\displaystyle{x+\frac{1}x=t→x^ 2+\frac{1}{x^ 2}=t^ 2-2}$ とおくと， $\displaystyle{\frac{X}{x^ 2}=t^ 2+at+b-2}$

　これは，式の値を求めるほかに，方程式 $X=0$ を解くのにも使える。

　解説終わりです。難しいものでは，指数法則，対称式や相反方程式などどう考えても高校範囲の知識を求められます。こういうのが入試の一番最初の問題，小問集合とかに「簡単な問題」として来やがることを考えると，恐ろしいですね。

　そういえば今日は共通テスト2日目ですね。頑張ってください。（適当）

高校受験生の皆さんも，後僅かですが応援しています。

　（私は今年度最後の模試が終わったので気が楽です）

当ブログの共テ関連では，数Ⅰ・Aの問題を（私が解ければ）載せるかもしれません。

　今後は，2023年度の高校入試問題（数学）を中心に投稿していきます。

2023-01-10

''2023''関連・規則性の問題　解説

先日更新したブログ↓↓の，Part.2の問題の解説です。

規則性，特に数列の問題で第 $2023$ 項を求めさせることは多いでしょう。

$2023$ だけでなく他のどの数であっても，応用を利かせることができればいいですね。

大問数は2問で，両方とも中学入試にありそうな問題です（知らんけど）。

※上記のブログでの表記は各々⑻，⑼となってますが，今回は2問のみの掲載ですので，「問題１」「問題２」（＋関連する単元）で見出し表記にしております。

　ちなみに個人的な難易度は，問題１･･････難，問題２･･････普通～やや難　です。

問題１　（既約分数・約数，数列の和）
問題２　（整数を並べてできる数，桁数）
（余談）2023関連の計算問題

問題１　（既約分数・約数，数列の和）

　分母が $2023$ であるような正の既約分数を小さいものから順に並べるとき，

　①　 $2023$ 番目の数を求めよ。

　②　 $\frac{2022}{2023}$ は何番目の数か。

　③　②までに並ぶ数（ $\frac{2022}{2023}$ を含む）すべての和を求めよ。

　　　　　　　－　下にスクロールすると解答・解説があります　－

　問題１　解答・解説

解答　①　 $2507$ 　　②　 $1632$ 番目　　③　 $816$

解説　この数列に含まれる数を $\frac{n}{2023}$ （ $n$ は $2023$ と互いに素な自然数）とおく。

$\frac{m}{2023}$ が何番目の数かを知るには， $1≦n≦m$ の範囲にこの $n$ が何個あるかを数えればいい。（したがって，②の方が比較的解きやすい（更新してから気づいた））

②から解く。以下， $[x]$ で $x$ 以下の最大の整数を表すものとする。

$1$ から $2022$ までの自然数のうち， $2023$ と互いに素であるものの個数は， $2023=7×17^ 2$ より， $7$ でも $17$ でも割り切れない数を数えればいい。

　ステップ $❶～❸$ に分けて数える。

$❶$ $1$ から $2022$ までの自然数のうち， $7$ で割り切れる数は，

　 $[\frac{2022}7]=288$ より， $288$ 個

$❷$ $1$ から $2022$ までの自然数のうち， $17$ で割り切れる数は，

　 $[\frac{2022}{17}]=118$ より， $118$ 個

$❸$ $1$ から $2022$ までの自然数のうち， $7×17$ で割り切れる数は，

　 $[\frac{2022}{7×17}]=16$ より， $16$ 個

求める自然数の個数は， $2022-(❶+❷-❸)$ である（ベン図を書くとわかる）から，

　 $2022-(288+118-16)=1632$ より， $1632$ 個

したがって，② $\frac{2022}{2023}$ は， $1632$ 番目の数である。

③　 $\frac{2022}{2023}$ までの数の分子は全て $2023$ と互いに素な数である。

　よって，求める和の分母を $2023$ とすると，分子は，

$A=$ （ $1$ から $2022$ までのすべての自然数の和）

$B=$ （ $1$ から $2022$ までのすべての $7$ の倍数の和）

$C=$ （ $1$ から $2022$ までのすべての $17$ の倍数の和）

$D=$ （ $1$ から $2022$ までのすべての $119$ の倍数の和）　

　として， $A-(B+C-D)$ で求められる。（ $D:$ 重複分）

$A=\displaystyle{\sum_{k=1}^ {2022} k}=\frac{2022×2023}2$

$B=\displaystyle{\sum_{k=1}^ {[\frac{2022}7]} 7k}=7\displaystyle{\sum_{k=1}^ {288} k}=\frac{7×288×289}2=\frac{288×2023}2$

$C=\displaystyle{\sum_{k=1}^ {[\frac{2022}{17}]} 17k}=17\displaystyle{\sum_{k=1}^ {118} k}=\frac{17×118×119}2=\frac{118×2023}2$

$D=\displaystyle{\sum_{k=1}^ {[\frac{2022}{119}]} 119k}=119\displaystyle{\sum_{k=1}^ {16} k}=\frac{119×16×17}2=\frac{16×2023}2$

$\displaystyle{∴A-(B+C-D)=\frac{2022×2023}2-(\frac{288×2023}2+\frac{118×2023}2-\frac{16×2023}2)}$

$\displaystyle{=\frac{2023}2×\{2022-(288+118-16)\}=\frac{2023}2×1632=2023×816}$

よって，③求める値は $\displaystyle{\frac{2023×816}{2023}=816}$ （答）

①　②の計算過程を利用する。 $k$ 番目の数 $n$ は，以下の式を満たす;

　 $n-([\frac{n}7]+[\frac{n}{17}]-[\frac{n}{7×17}])=k$ .

　 $k=2023$ となるときの $n$ を求める。 $n$ が大きくなるほど $k$ は大きくなる。

$n$ の増加量に対する $k$ の増加量を考える。 $n=m+7×17$ を代入すると，

　 $k=(m+7×17)-([\frac{m+7×17}7]+[\frac{m+7×17}{17}]-[\frac{m+7×17}{7×17}])$

　 $=(m+119)-([\frac{m}7]+17+[\frac{m}{17}]+7-[\frac{m}{7×17}]-1)$

　 $=(m+119)-([\frac{m}7]+[\frac{m}{17}]-[\frac{m}{7×17}]+23)$

　 $=m-([\frac{m}7]+[\frac{m}{17}]-[\frac{m}{7×17}])+96$

よって， $n$ が $7×17=119$ 増加すると， $k$ は $96$ 増加する。

　②より， $n=2022$ のとき $k=1632$ であるから， $2023-1632=391$ 増加させるためには， $n$ を $\frac{391}{96}×119=484.67...$ 増加させる必要がある。

　 $n=2022+484=2506$ を代入すると，

　 $k=2506-([\frac{2506}7]+[\frac{2506}{17}]-[\frac{2506}{7×17}])=2506-(358+147-21)=2022$ .

　よって， $2506$ は $2022$ 番目の数である。また， $2506=7×358=17×147+7$

より， $2507$ は $7$ でも $17$ でも割り切れないから，この数列に属する。したがって，① $2023$ 番目の数は， $2507$ である。

（一言）もう少し簡単な解き方ないですかね。①の実験の手数はなるべく減らしたいですね。

　「互いに素」系の問題を発展させた問題です。和を求めるのはかなり難しいと思います。

問題２　（整数を並べてできる数，桁数）

　 $1$ から $2023$ までの整数を以下のように並べてできる整数 $N$ を考える。

　　 $N=1234567891011121314･･･20222023$

　①　数 $N$ の十進法での桁数を求めよ。

　②　数 $N$ の $2023$ 桁目の数を求めよ。

　　　　　　　－　下にスクロールすると解答・解説があります　－

　問題２　解答・解説

解答　①　 $6995$ 桁　　　②　 $7$

解説　数 $N$ を以下のように区切って考える。

　 $N=|123456789|1011･･･････99|100101･･･････999|10001001･･･････2023|$

このとき，左端の組に並ぶ数は $1$ から $9$ までの整数すべてであり，

　その桁数は $(9-1+1)×1=9$ 桁････････㋐

左から $2$ 番目の組に並ぶ数は $10$ から $99$ までの整数すべてであり，

　その桁数は $(99-10+1)×2=180$ 桁････････㋑

左から $3$ 番目の組に並ぶ数は $100$ から $999$ までの整数すべてであり，

　その桁数は $(999-100+1)×3=2700$ 桁････････㋒

右端の組に並ぶ数は $1000$ から $2023$ までの整数すべてであり，

　その桁数は $(2023-1000+1)×4=4096$ 桁････････㋓

したがって，①数 $N$ の桁数は $㋐+㋑+㋒+㋓=6995$ 桁　（答）

また， $2023$ 桁目の数は，左から $3$ 番目の組に含まれる。

左から $3$ 番目の組は $190$ 桁目から始まり，並ぶ数は $3$ 桁の整数である。

左から $3$ 番目の組を，さらに，以下のように分ける;

　 $|100|101|102|103|････････|997|998|999|$

このとき， $n$ を自然数として，左から $n$ 番目の組に含まれる数は， $99+n$

である。さらに，左から $n$ 番目の組の右端の数は， $(189+3n)$ 桁目の数である。

$2023-189=1834=3×611+1$ であるから，左から $611$ 番目の組の右端の数が，

$2022$ 桁目の数である。よって，左から $612$ 番目の組の左端の数が，求める数である。

　左から $612$ 番目の組に含まれる数は $99+612=711$ であるから，この左端の数は

　　　②　 $7$ 　（答）

（一言）群数列ですね。類題では，「 $1$ の数を数えさせる」「各桁の数の和を求めさせる」などがありそうです。桁数を求めるだけなら簡単な部類だと思います。

（余談）2023関連の計算問題

　前回の記事には2023関連の計算問題を載せようと思っていたのですが，いい問題が浮かばなかったので見送りました。が，今回の記事を書いている間に思いついてしまったので，こちらも載せたいと思います。算数っぽく見えますが，高校入試用です。

問　 $0.2023×20.23+6.174×1.977-1.977×(2.128－1.977)$ を計算せよ。

解説

　 $2.023=x, 1.977=y$ とおくと， $0.2023×20.23=2.023^ 2=x^ 2$ であり，

　 $(与式)=x^ 2+6.174y-y(2.128-y)=x^ 2+(6.174-2.128)y+y^ 2$

　 $=x^ 2+4.046y+y^ 2=x^ 2+2xy+y^ 2$ 　 $(4.046=2×2.023 より)$

　 $=(x+y)^ 2=(2.023+1.977)^ 2=4^ 2=16$ 　（答）

（一言） $2.023+1.977=4$ なので勘で解けるかもしれません。おそらく難しく見えるのは，

　わざわざ $2.023×2.023$ を $0.2023×20.23$ に書き換えているからでしょうね。

（再余談）ついでに，こいつも対策しておきますか...？

問　 $2023^ 4$ を $2^ 4$ で割ったときの余りは $1$ に等しい。

　不定方程式 $2023^ 5x-2^ 5y=1$ の整数解のうち， $x$ が正で最小のものは

　　 $x=[$ アイ $], y=[$ ウエオカキクケコサシスセソタチツテ $]$ である。

※この問題の解説は時間の無駄なのでしません。Wolframとかに入れてみてください。

2023-01-02

2023年の入試・数学にはこれが出る...？

あけましておめでとうございます！2023年です！

今回は‘‘2023’’という数に関連した、今年の入試に出るかもしれない問題を作りました。

超頻出パターン問題から割と厄介な難問までを紹介し、解説していきます。

　※冗長になりそうなのでPart.2の解説は次回に、問題ごと載せます。

　問題（Part.1・小問）
　問題（Part.2・規則性に関する大問形式の問題）
　解説（Part.1・小問）

（多くの方と似たような内容になると思いますが、お許し下さい）

それではいってみましょう！（問題の順番は難易度とは関係ありません）

　問題（Part.1・小問）

⑴　 $2023$ を素因数分解せよ。

⑵　 $2023$ の正の約数の個数および総和を求めよ。

⑶　 $2023$ の正の約数の逆数の総和を求めよ。

⑷　 $\sqrt{\frac{2023}n}$ が自然数となるような最小の自然数 $n$ を求めよ。

⑸　 $\sqrt{2023+n^ 2}$ が自然数となるような最小の自然数 $n$ を求めよ。

⑹　 $\frac{2023}{3179}$ を既約分数にせよ。

⑺　 $2023^ {2023}$ の一の位の数を求めよ。

　問題（Part.2・規則性に関する大問形式の問題）

⑻　分母が $2023$ であるような正の既約分数を小さいものから順に並べるとき、

　　①　 $2023$ 番目の数を求めよ。

　　②　 $\frac{2022}{2023}$ は何番目の数か。

　　③　②までに並ぶ数（ $\frac{2022}{2023}$ を含む）の和を求めよ。

⑼　 $1$ から $2023$ までの整数を以下のように並べてできる数を考える。

　　　 $1234567891011121314･･･20222023$

　　①　この数の $10$ 進法での桁数を求めよ。

　　②　 $2023$ 桁目の数を求めよ。

－　問題終わり　－

　気付いたら⑼まで作ってしまいました。年号は小問形式での出題や、規則性の最後の問題などでたまに見かけます（公立では見たことはないですが...）ので、ある程度の対策は必要になってくるでしょう。特に中学入試では必ず出てきますよね（知らんけど

それでは解説に移ろうと思います。現在1月1日22時58分、元日中に更新できるでしょうか...

　解説（Part.1・小問）

⑴　地道に割っていきましょう。そこまで遠くはなく、倍数判定も使えないので。

　答　 $2023＝7×17^ 2$ 　

⑵　約数の個数、総和の公式（塾とか参考書でよく出てきますよね）を使います。

　まあこれくらいは書き出してもいいと思いますが。

　　 $2023$ が⑴と素因数分解されることより、

　答　約数の個数は $(1+1)×(2+1)=6$ （個）

　　　約数の総和は $(1+7)×(1+17+17^ 2)=2456$

（注）自然数 $N$ が $N={p_1}^ {a_1}×{p_2}^ {a_2}×･･･×{p_n}^ {a_n} (p_1～p_nは異なる素数)$

　と素因数分解されるとき、

　 $N$ の約数の個数は $(_1+1)×(a_2+1)×･･･×(a_n+1)$ （個）、

　 $N$ の約数の総和は $(1+{p_1}+･･･+{p_1}^ {a_1})×(1+{p_2}+･･･+{p_2}^ {a_2})×･･･×(1+{p_n}+･･･+{p_n}^ {a_n})$

　と表される。（総和の方を簡潔にまとめると $\displaystyle{\prod_{l=1}^{n}}{\displaystyle{\sum_{k=1}^{a_l+1}}{p_l}^ {k-1}}$ となる合ってるかな...）

⑶　 $2023$ の約数全ての逆数は、分母を $2023$ にそろえると、

　　 $\frac{2023}{2023}, \frac{2023÷7}{2023},...,\frac{1}{2023}$ 　　　であるから、

　答　求める和は、 $\frac{約数の総和}{2023}=\frac{2456}{2023}$ ･･･････※

　（ $2456$ は $7$ でも $17$ でも割り切れないから、※は既約分数である。）

⑷　 $2023=7×17^ 2$ より、求める自然数 $n=7$ 　（根号内が平方数になればよい）

⑸　 $\sqrt{2023+n^ 2}=k (kは自然数)$ とおくと、 $2023+n^ 2=k^ 2$

　すなわち、 $2023=k^ 2-n^ 2=(k-n)(k+n)=7×17^ 2$

　 $n＞0$ より $k-n＜k+n$ だから、 $(k-n, k+n)=(1, 2023),(7, 289),(17, 119)$

　　 $n$ が最小のとき、 $k-n$ と $k+n$ の差も最小だから、 $(k-n, k+n)=(17, 119)$

　よって、求める自然数 $n=51$ 　（ $k$ と $n$ の連立方程式として解く）

⑹　 $2023=7×17^ 2$ を知っているなら $3179$ を $7, 17$ で割ってみる。

　知らなかった場合は様々な解き方があるが、基本的には互除法を用いる。

　　 $3179-2023=1156, 2023-1156=867, 1156-867=289$ より、

　 $3179$ と $2023$ の公約数は $289=17^ 2$ の約数でもある。

　　よって、それぞれを $17^ 2$ で割って、求める分数は $\frac{7}{11}$

⑺　一の位の数がわかればよいので、 $3^ {2023}$ の一の位の数を求めれば十分。

　 $3^ 1=3, 3^ 2=9, 3^ 3=27, 3^ 4=81$ より、一の位の数は周期 $4$ で $3→9→7→1$ を繰り返す。 $2023=4×505+3$ より、求める数は $7$

いかがだったでしょうか。小問はこれである程度対策できると思います。

　解説に不備があったりする場合は是非コメント等ご指摘をお願いします。

後半の解説はまた次回で.....

　（1月2日になってしまった...）

2022-12-25

解説　（問題１　放物線と円）

昨日（今日）載せた自作問題の解答、解説です。

まだ問題を見ていない方は先にこちらを↓↓

⑵で手が止まると書きましたが、そもそも条件をうまく整理しないと⑴から難しい、

何なら知識次第では不可能な問題でした。方針としてはOA⊥OBを用いること、

OBの傾きが $\sqrt{3}$ であることから有名三角形の存在がわかります。

以下に解答を示しますが、おそらくもう少しきれいな解き方があります(..)

（拙い解説になりますが、お許しください...）

解答

⑴　Bの座標は ${(\sqrt{3},3)}$ であるから、OBの式は ${y=\sqrt{3}x}$ である。

　ABは直径だから、 $∠AOB=90°$ 　すなわち　OA⊥OB.　直線の直交条件より、

　（OAの傾き） ${×}$ （OBの傾き） ${=-1}$ .

　OBの傾きは $\sqrt{3}$ であるから、

　（OAの傾き） ${=-\frac{\sqrt{3}}3}$ .

　したがって、点Aの $x$ 座標を $a(a≠0)$ とすると

　　 $a^ 2=-{\frac{\sqrt{3}}3}a$ .

　　よって、 $a=-\frac{\sqrt{3}}3$ .

　放物線と2点で交わる直線の公式（正式名称教えて）より、求める直線ABの式は

　　 $y=1×(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}3)x-1×\sqrt{3}×(-\frac{\sqrt{3}}3)$

　すなわち、　 $y={\frac{2\sqrt{3}}3}x+1$ 　（答）

⑵　点Aの $y$ 座標は $(-\frac{\sqrt{3}}3)^ 2=\frac{1}3$ である。

　点Aから $x$ 軸に垂線AHを下すと、

　　 $OH=\frac{\sqrt{3}}3,$ 　 $AH=\frac{1}3$ 　より、 ${AH:OH=1:\sqrt{3}}$

　したがって、△AOHの $3$ 辺比は ${1:2:\sqrt{3}}$ であるから、

　　 $∠AOH=30°$ .

　四角形OACDは円 $C$ に内接しているから、円に内接する四角形の性質より

　　 $∠ACD=∠AOH=30°$ .　（答）

⑶　線分ABの中点（円 $C$ の中心）をMとすると、その座標は、

　 $x$ 座標･･･ $(\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}3)÷2-\frac{\sqrt{3}}3=\frac{\sqrt{3}}3$ 、 $y$ 座標･･･ $(3-\frac{1}3)÷2+\frac{1}3=\frac{5}3$

　また、△ODMはOM=DMの二等辺三角形であるから、MからODに垂線MIを下すと、

　OI=DIとなる。よって、 $OD=2×\frac{\sqrt{3}}3=\frac{2\sqrt{3}}3$

　　すなわち、Dの座標は $(\frac{2\sqrt{3}}3,0)$ .　　（答）

　点A, Bと $y$ 軸に関して対称な点A′, B′について、3点O, A′, B′を通る円を $C'$ とする。

　このとき、円 $C'$ は円 $C$ を $y$ 軸に関して対称移動させたものになる。

　円 $C'$ について、放物線 $y=x^ 2$ との交点のうちO, A′, B′以外のものをC′、

　 $x$ 軸との交点のうちO以外のものをD′とすると、放物線の対称性から

　（Cの $x$ 座標）＝（D′の $x$ 座標）、（Dの $x$ 座標）＝（C′の $x$ 座標）

　である。また、対称性からOD＝OD’であるので、Cの $x$ 座標は

　　（Dの $x$ 座標） $×(-1)=-\frac{2\sqrt{3}}3$

　よって、Cの $y$ 座標は $(-\frac{2\sqrt{3}}3)^ 2=\frac{4}3$

　　すなわち、Cの座標は $(-\frac{2\sqrt{3}}3,\frac{4}3)$ 　（答）

⑷　（CDの傾き）＝ $\frac{0-\frac{4}3}{\frac{2\sqrt{3}}3-(-\frac{2\sqrt{3}}3)}=-\frac{\sqrt{3}}3$ ＝（AOの傾き）

　すなわち、CD//AOであるから、四角形OACDは台形である。

　円に内接する台形は等脚台形であるから、四角形OACDは等脚台形である。

　したがって、求める直線 $ℓ$ はCDの垂直二等分線である。

　線分CDの中点をNとすると、（Cと $y$ 軸との距離）＝（Dと $y$ 軸との距離）より、

　点Nは $y$ 軸上にある（Nの $x$ 座標は0）。　Nの $y$ 座標は、　　 ${\frac{4}3}÷2=\frac{2}3$ .

　また、求める直線 $ℓ$ について、 $ℓ$ ⊥OAであるから、 $ℓ$ //OB

　　よって、 $ℓ$ の傾きは $\sqrt{3}$ 、切片は（点Mの $y$ 座標） $=\frac{2}3$ .

　　すなわち、求める直線は　　 $y=\sqrt{3}x+\frac{2}3$ .　（答）

解いてみたら思ったより難しいわけでもなく、良問とも言えないかな～と思いました。

もっと楽にOA//DCを示せる気がするんだよなぁ。何か見落としてるのかな。

　有識者の方、見解をお願いします（丸投げ(._.)

次回に向けて問題作っときます（或いは、良問探し）。

（関係ないけど数式入力超面倒くさい）

趣味の数学blog.

自作問題や私の好きな問題を解いたりします。

卒業

奇問の小問集合①（自作問題）

2023灘高校大問1⑵ 二次方程式の解と係数 +α

式の値－大学入試みたいな高校入試問題

問題

⑴～⑸　解説

⑹～⑽　解説

''2023''関連・規則性の問題　解説

問題１　（既約分数・約数，数列の和）

問題２　（整数を並べてできる数，桁数）

（余談）2023関連の計算問題

2023年の入試・数学にはこれが出る...？

問題（Part.1・小問）

問題（Part.2・規則性に関する大問形式の問題）

解説（Part.1・小問）

解説　（問題１　放物線と円）

問題

⑴～⑸ 解説

⑹～⑽ 解説

問題１ （既約分数・約数，数列の和）

問題２ （整数を並べてできる数，桁数）

（余談）2023関連の計算問題

問題（Part.1・小問）

問題（Part.2・規則性に関する大問形式の問題）

解説（Part.1・小問）

⑴～⑸　解説

⑹～⑽　解説

問題１　（既約分数・約数，数列の和）

問題２　（整数を並べてできる数，桁数）

　問題（Part.1・小問）

　問題（Part.2・規則性に関する大問形式の問題）

　解説（Part.1・小問）