趣味の数学blog.

自作問題や私の好きな問題を解いたりします。

2023年の入試・数学にはこれが出る...？

あけましておめでとうございます！2023年です！

今回は‘‘2023’’という数に関連した、今年の入試に出るかもしれない問題を作りました。

超頻出パターン問題から割と厄介な難問までを紹介し、解説していきます。

　※冗長になりそうなのでPart.2の解説は次回に、問題ごと載せます。

　問題（Part.1・小問）
　問題（Part.2・規則性に関する大問形式の問題）
　解説（Part.1・小問）

（多くの方と似たような内容になると思いますが、お許し下さい）

それではいってみましょう！（問題の順番は難易度とは関係ありません）

　問題（Part.1・小問）

⑴　 $2023$ を素因数分解せよ。

⑵　 $2023$ の正の約数の個数および総和を求めよ。

⑶　 $2023$ の正の約数の逆数の総和を求めよ。

⑷　 $\sqrt{\frac{2023}n}$ が自然数となるような最小の自然数 $n$ を求めよ。

⑸　 $\sqrt{2023+n^ 2}$ が自然数となるような最小の自然数 $n$ を求めよ。

⑹　 $\frac{2023}{3179}$ を既約分数にせよ。

⑺　 $2023^ {2023}$ の一の位の数を求めよ。

　問題（Part.2・規則性に関する大問形式の問題）

⑻　分母が $2023$ であるような正の既約分数を小さいものから順に並べるとき、

　　①　 $2023$ 番目の数を求めよ。

　　②　 $\frac{2022}{2023}$ は何番目の数か。

　　③　②までに並ぶ数（ $\frac{2022}{2023}$ を含む）の和を求めよ。

⑼　 $1$ から $2023$ までの整数を以下のように並べてできる数を考える。

　　　 $1234567891011121314･･･20222023$

　　①　この数の $10$ 進法での桁数を求めよ。

　　②　 $2023$ 桁目の数を求めよ。

－　問題終わり　－

　気付いたら⑼まで作ってしまいました。年号は小問形式での出題や、規則性の最後の問題などでたまに見かけます（公立では見たことはないですが...）ので、ある程度の対策は必要になってくるでしょう。特に中学入試では必ず出てきますよね（知らんけど

それでは解説に移ろうと思います。現在1月1日22時58分、元日中に更新できるでしょうか...

　解説（Part.1・小問）

⑴　地道に割っていきましょう。そこまで遠くはなく、倍数判定も使えないので。

　答　 $2023＝7×17^ 2$ 　

⑵　約数の個数、総和の公式（塾とか参考書でよく出てきますよね）を使います。

　まあこれくらいは書き出してもいいと思いますが。

　　 $2023$ が⑴と素因数分解されることより、

　答　約数の個数は $(1+1)×(2+1)=6$ （個）

　　　約数の総和は $(1+7)×(1+17+17^ 2)=2456$

（注）自然数 $N$ が $N={p_1}^ {a_1}×{p_2}^ {a_2}×･･･×{p_n}^ {a_n} (p_1～p_nは異なる素数)$

　と素因数分解されるとき、

　 $N$ の約数の個数は $(_1+1)×(a_2+1)×･･･×(a_n+1)$ （個）、

　 $N$ の約数の総和は $(1+{p_1}+･･･+{p_1}^ {a_1})×(1+{p_2}+･･･+{p_2}^ {a_2})×･･･×(1+{p_n}+･･･+{p_n}^ {a_n})$

　と表される。（総和の方を簡潔にまとめると $\displaystyle{\prod_{l=1}^{n}}{\displaystyle{\sum_{k=1}^{a_l+1}}{p_l}^ {k-1}}$ となる合ってるかな...）

⑶　 $2023$ の約数全ての逆数は、分母を $2023$ にそろえると、

　　 $\frac{2023}{2023}, \frac{2023÷7}{2023},...,\frac{1}{2023}$ 　　　であるから、

　答　求める和は、 $\frac{約数の総和}{2023}=\frac{2456}{2023}$ ･･･････※

　（ $2456$ は $7$ でも $17$ でも割り切れないから、※は既約分数である。）

⑷　 $2023=7×17^ 2$ より、求める自然数 $n=7$ 　（根号内が平方数になればよい）

⑸　 $\sqrt{2023+n^ 2}=k (kは自然数)$ とおくと、 $2023+n^ 2=k^ 2$

　すなわち、 $2023=k^ 2-n^ 2=(k-n)(k+n)=7×17^ 2$

　 $n＞0$ より $k-n＜k+n$ だから、 $(k-n, k+n)=(1, 2023),(7, 289),(17, 119)$

　　 $n$ が最小のとき、 $k-n$ と $k+n$ の差も最小だから、 $(k-n, k+n)=(17, 119)$

　よって、求める自然数 $n=51$ 　（ $k$ と $n$ の連立方程式として解く）

⑹　 $2023=7×17^ 2$ を知っているなら $3179$ を $7, 17$ で割ってみる。

　知らなかった場合は様々な解き方があるが、基本的には互除法を用いる。

　　 $3179-2023=1156, 2023-1156=867, 1156-867=289$ より、

　 $3179$ と $2023$ の公約数は $289=17^ 2$ の約数でもある。

　　よって、それぞれを $17^ 2$ で割って、求める分数は $\frac{7}{11}$

⑺　一の位の数がわかればよいので、 $3^ {2023}$ の一の位の数を求めれば十分。

　 $3^ 1=3, 3^ 2=9, 3^ 3=27, 3^ 4=81$ より、一の位の数は周期 $4$ で $3→9→7→1$ を繰り返す。 $2023=4×505+3$ より、求める数は $7$

いかがだったでしょうか。小問はこれである程度対策できると思います。

　解説に不備があったりする場合は是非コメント等ご指摘をお願いします。

後半の解説はまた次回で.....

　（1月2日になってしまった...）